Bernhard Riemann tarafından 1859’da ortaya çıkan Riemann Hipotezi, özel bir fonksiyon olan Riemann zeta fonksiyonunun (ζ(S)\zeta(lar)ζ ( s )) “sıfırlarının” (köklerinin) kritik çizgi üzerinde yer alıp almadığını inceler. Hipotez, karmaşık yapıdaki tüm “sıfırların”Rve(S)=12\mathrm{Re}(ler) = \tfrac{1}{2}Tekrar ( ler )=21durumlarında olduğu öngörülüyordu.
Tarihçe
- Riemann, çalışmanın asal yapısının güncelliğini ortaya koymak için geliştirildi.
- yüzyıldan bu yana sayısız matematikçi hipotezi çözmeye çalıştı.
- Clay Matematik Enstitüsü tarafından Milenyum Problemi olarak seçilmiş ve 1 milyon dolarlık ödül konmuştur.
Çözüm Durumu
Henüz kanıtlanamamıştır. Sayısız dijital test hipotezlerinin çeşitliliği sıfır için test edilmiş olsa da kesin bir ispat yoktur. Dolayısıyla çağımızın en önemli açık sorunlarından biridir.
2. P ve NP Problemleri
Özet
Bilgisayar bilimlerinin temel problemlerinden biri olan “P vs NP”, çözümler hızla doğru hareket edebilen problemlerin, hızla (polinomsal zamanda) çözülebilir problemlerle aynı sınıfta olup olmadığı sorgular. Daha basit bir ifadeyle: “Çözümü kolayca kontrol edilen bir problem, kolayca çözülebilir mi?”
Tarihçe
- Stephen Cook ve Leonid Levin tarafından 1970’lerde temelleri atıldı.
- Karmaşıklık kuramı ve nesnelerin merkezi yer alan bir listesi.
- Yine Clay Enstitüsü tarafından Milenyum Problemi olarak seçilmiş ve ödüle tabidir.
Çözüm Durumu
Henüz çözülememiştir. Çoğu araştırmacı, P ≠ NP yönünde düşünmektedir ancak henüz kanıtlanmamıştır.
3. Navier – Stokes Denklemleri (Varlık ve Düzenlilik)
Özet
Akışkanlar mekaniğinin seçenekleri “Navier–Stokes denklemleri, viskoz akışkanların hareketini sağlar. Sorunun özünde, bu denklemlerin 3 boyutlu hâli için her zaman düzgün (yani sonsuzlukta patlamayan) çözümlerin var olup olmadığı sorusu vardır.
Tarihçe
- 19. yüzyılda Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes tarafından formüle edildi.
- Pratik mühendislikte, hava tahminlerinde ve akışkan dinamiğinin her alanında kullanılır.
- Kil Enstitüsü Milenyum Problemi listesinde yer almaktadır.
Çözüm Durumu
Genel bir kanıt henüz yapılamadı. Bazı geçici sonuçlar ve özel durumlar çözümlenebilmiştir ancak genel 3 boyutlu durumdaki denklemlerin düzgün (pürüzsüz) çözümlenmesi için her zaman sahip olup olmadığı bilinmemektedir.
4. Yang–Mills Teorisi (Kütle Aralığı Problemi)
Özet
Fizikte kuantum alan teorisinin önemli bir parçası olan Yang–Mills teorisi, temel iletişimleri için kullanılır. “Kütle aralığı” (kütle aralığı) probleminin temeli, kuramsal olarak spin-1 taşıyıcıların parçalarız veya çok küçük kütleli olması kullanılırken, gözlemlerle paketlerle bir kütleye sahip olmalarıdır.
Tarihçe
- 1954’te Chen Ning Yang ve Robert Mills, temel güçlere yönelik bir yapısal çerçeve sundu.
- Standart Model’in yapı taşlarından biridir.
- Kil Enstitüsü tarafından Milenyum Problemi seçilmiştir.
Çözüm Durumu
Matematiksel olarak Yang–Mills kütle aralığının varlığının kesin şekilde kanıtlamak başarılabilmiş değildir. Deneylerle uyumlu sonuçlar elde edilse de kuramsal olarak ispat eksiktir.
5. Hodge Kestirimi
Özet
Cebirsel geometri ve diferansiyel geometri arasında köprü kuran Hodge teorisi, karmaşık manifoldların topolojisini inceler. Hodge Kestirimi, belirli diferansiyel formların “harmonik” temsilcileri ve bu formaların çeşitler üzerindeki karmaşık yapılarla ilişkilerini konu alır.
Tarihçe
- Sir William Vallance Douglas Hodge, 1930’larda Hodge teorisini geliştirdi.
- Milenyum Problemleri arasında yer alır ve karmaşık cebirsel çeşitlerin topolojik özelliklerinin anlaşılması için kritiktir.
Çözüm Durumu
Henüz tam bir kanıt veya çürütme yapılmamıştır. Kısmi koşullar ve düşük boyutlu özel hallerde doğrulanmış sonuçlar mevcuttur ancak genel formda sorun çözümü mevcuttur.
6. Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi
Özet
Eliptik eğriler ve bu eğrilerin dağınık sayıları üzerindeki çözümler ile ilgilenen bu kestirim, eliptik eğrinin rütbesini (çözümlerin derecesini) belirlemek için L-fonksiyonlarını kullanır. Eliptik eğriler, modern atom teorisinin ve kriptografinin önemli bir yansımasını temsil eder.
Tarihçe
- Bryan Birch ve Peter Swinnerton-Dyer, 1960’larda bilgisayar destekli incelemelerle öne çıktı.
- Eliptik eğriler, Fermat’nın Son Teoremi’nin ispatında da kilit rol oynamıştır.
- Kil Enstitüsü Milenyum Problemleri’nden biridir.
Çözüm Durumu
Bu iddianın bazı özel durumları kanıtlanmış olsa da genel formül çözülememiştir.
7. Poincaré Kestirimi (Poincaré Sanısı)
Özet
Henri Poincaré tarafından ortaya atılan bu problem, 3 boyutlu uzayın (3-boyutlu manifoldun) 3-boyutlu küreye “topolojik olarak değişme” olması için belli koşulların yeterli olup olmadığı sorgulanıyordu.
Tarihçe
- 1904’te Poincaré tarafından soruldu.
- 100 harften fazla süre boyunca çözülmeden kaldı.
- Kil Enstitüsü tarafından Milenyum Problemi olarak belirlenmiştir.
Çözüm (Grigori Perelman)
Rus matematikçi Grigori Perelman, 2002–2003 yılları arasında Ricci’nin kataloglarını kullanarak Poincaré Kestirimi’ni kanıtladı. İspat 2006’da genel kabul gördü. Perelman, Clay Enstitüsünün 1 milyon adet parçasını reddetti.
8. Fermat’nın Son Teoremi
Özet
Pierre de Fermat, 17. yüzyılda “XN+veN=zNx^n + y^n = z^nXN+veN=zNdenklemininN>2n > 2N>2için tamsayı çözümüne sahip olmadığı iddiasını ortaya atmıştı. Yüzyıllar boyunca çözülemeyen bu sorun, modern matematikçiliğin en ünlü teoremlerinden biridir.
Tarihçe
- Fermat bu ifadenin gerçekleştirilebilir “Bu iddiaya harika bir ispatım var ama buraya sığmaz.” diye düşmedin.
- Euler, Kummer gibi birçok ünlü matematikçi çeşitli bölümlerine ulaştı.
- 1994 yılında Andrew Wiles, eliptik eğrileri kullanarak teoremi ispatladı.
Çözüm (Andrew Wiles)
Wiles’ın ispatı, eliptik eğriler ve cebirsel atomlar devrim alanında devrim yapar. 350 yıllık bir gizem resmen çözülmüştür.
9. Goldbach Kestirimi
Özet
“Her 2’den büyük çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir mi?” yerine ortaya koyar. Örnek olarak 10 = 3 + 7 veya 28 = 11 + 17 gibi. Basit kurulumlara rağmen kanıtlanamamıştır.
Tarihçe
- 1742’de Christian Goldbach tarafından Leonhard Euler’e yazılan mektupta formüle edildi.
- Yüzyıllardır test edilmelerine rağmen tam olarak kanıtlanamıyor.
- Bilgisayar testleri oldukça büyük sayılara kadar olumlu sonuçlar veriyor.
Çözüm Durumu
Tam bir ispat yok, ancak kısmi veya genişletilmiş formlar vardır (“Zayıf Goldbach Kestirimi” gibi). Yine de klasik Goldbach Kestirimi açık bir sorun olarak varlığını sürdürüyor.
10. İkiz Asallar Kestirimi
Özet
İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asal sayı çiftleridir (11-13, 17-19, 29-31 gibi). “Sonsuz sayıda ikiz asal var mıdır?” Sorunun, analitik sayı teorisinin en büyük gizemlerinden biridir.
Tarihçe
- 19. yüzyılda Alphonse de Polignac’tan dikkat çekildi.
- “Asal problemin durumu” Durumun sorunları bir alt problemdir.
- 2013’te Yitang Zhang, ikiz asalların “sonlu bir üst sınıra kadar uzakta” sonsuz sayıda var olduğunu gösterdi (bu, ikiz asalların varlığının kökeninin olduğu bir versiyonudur).
Çözüm Durumu
İkiz asalların gerçekten sonsuz olduğu tam olarak doğrulanmaz. Zhang’ın, Maynard’ın ve Polymath projesinin çalışmalarıyla üst sınır daraltılmış olsa da da nihai kanıt henüz mevcut değil.
11. Collatz Kestirimi (3n + 1 Problem)
Özet
Collatz’ın işlevi:
- Sayı tekse,3N+13n + 13 gün+1formül getir.
- Sayı çiftse,N/2yok/2n /2formülü getir.
Bu işlemler tekrarlandığında, onun pozitif tam sayısının eninde sonunda 1’e ulaşacağı iddia edilir.
Tarihçe
- 1937’de Lothar Collatz ortaya çıktı.
- Bilgisayar testleri, çok büyük sayıların 1’e dönüldüğünü gösteriyor.
- Ancak genel olarak bir disiplin cezası yoktur.
Çözüm Durumu
Hâlâ çözümsüzdür. Oldukça “basit” oluşumlara karşın, bu tür problemlerin karmaşıklığını gösteren ikonik bir örnektir.
12. ABC Kestirimi
Özet
Üç pozitif tamsayısıAAA,BBBveCCCiçin,A+B=Ca + b = cA+B=CBunların altında, bu üç sayının asal çarpanlarının çeşitli büyüklükleri inceler. ABC Kestirimi, asal çarpanların durumu ile ilgili derin bir sonuç öngörür.
Tarihçe
- 1985’te Joseph Oesterlé ve David Masser tarafından gündeme getirildi.
- Fermat’ın Son Teoremi gibi birçok diyofantin denkleminin çözümüyle derin çözümlere sahip olduğu düşünülür.
Çözüm Durumu
İddianın tam olarak değiştiği veya yanlışlığı kanıtlanamamıştır. Shinichi Mochizuki’nin “Evrenlerarası Teichmüller Teorisi (IUT)” adlı kapsamlı çalışması ileri sürmüş olsa da toplulukta tam bir mutabaka sağlanmamıştır. Konunun kapasitesi ve net bir ispat olarak kabul edilmemesidir.
13. Beal Kestirimi
Özet
Beal Kestirimi, “AX+Bve=CzA^x + B^y = C^zAX+Bve=Cz” oranlarındaki denklemler için ortak bir asal çarpan şartını inceler. Daha özelde, eğerAX+Bve=CzA^x + B^y = C^zAX+Bve=CzveA,B,CA, B, CA ,B ,Cçiftdışı asal çarpanlar taşınırsa,A,B,CA, B, CA ,B ,Carasında ortak bir asal çarpanları olması öngörür.
Tarihçe
- 1993’te Andrew Beal tarafından ortaya çıkarıldı.
- Fermat’ın Son Teoremi ile görünümlerin benzerlikleri taşınır.
- Beal, sorunu çözene 1 milyon dolar bedelini vadetmiştir.
Çözüm Durumu
Henüz bir kanıt veya çürütme yoktur. Fermat’ın Son Teoremi’nden elde edilen tekniklerin oranda uygulanabileceği.
14. Ramsey Teorisi’ndeki Büyük Sayılar Sorunları
Özet
Ramsey Teorisi, “yeterince büyük ve karmaşık bir sistem, belirli bir düzenin kaçınılmaz olarak ortaya çıkacağı” fikriyle ilgilenir. Başlangıçtaki ünlü problem, R(s, t) gibi kapasitelerin değerlerinin ne kadar büyük olabileceği veya tam olarak hangi değerde pazarlanmasıdır. Örneğin, “Herhangi bir partiye en az kaç kişi gelirse, mutlaka üç kişinin arkadaşlarının davranışları veya tanınmadığı bir alt grup oluşur mu?” gibi değişiklikler vardır.
Tarihçe
- Frank P. Ramsey tarafından 1930’larda temelleri atıldı.
- Sonraki yıllarda Paul Erdős ve diğer matematikçiler, bu teori etrafında pek çok açık problem formüle ettiler.
- Bazı Ramsey parçaları (ör.R(3,3), R(4,4)) hesaplanabildiği için karmaşık yapının net sonuçları almak çok zordur.
Çözüm Durumu
Ramsey hızı hızla “astronomik” boyutlara ulaşmaktan, programlama ve kombinatoryal yaklaşımlar çok sınırlı kalır. Halen pek çok alt problem seçeneği ve “dünyanın en büyük bilinen profili” bu teoriden çıkar.
15. Erdos–Straus Kestirimi
Özet
Erdős–Straus Kestirimi, her tamsayıN≥2n \ge 2N≥2için4N=1X+1ve+1z\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}N4=X1+ve1+z1
sıradan bir çözüm (pozitif tamsayı)X,ve,zx,y,zX ,ve ,zbulma) her zaman mümkün müdür, ortaya çıkar.
Tarihçe
- 1950’de Paul Erdős ve Ernst G. Straus tarafından ortaya çıkarılmıştır.
- Klasik bir kesirler ve Diofantik denklemler mevcuttur.
- Tamsayı çözümleri üzerinde çok sayıda sonuç mevcuttur.
Çözüm Durumu
Bu denkleminNNNiçin çözülüp çözülemeyeceği belli değil. Çok sayıda dijital işleme var ancak genel ispat henüz yok.
